I. Sachverhalt und Ausgangslage

A. und B., ein verheiratetes Ehepaar aus der Schweiz, entschloss sich aus gesundheitlichen Gründen dazu, ihren Kinderwunsch mit Hilfe einer Leihmutterschaft im Ausland umzusetzen. In Georgien wurden im Jahr 2019 die Zwillinge C. und D. von E., der Leihmutter, zur Welt gebracht. Zwischen der Leihmutter und den Kindern besteht jedoch keine biologische Verwandtschaft – genetische Eltern der Kinder sind die Ehegatten A. und B, da zur Zeugung eine Samenspende des Ehemannes A. und eine Eizellenspende der Ehefrau B. verwendet wurde. Gestützt auf das georgische Recht wurden für die Kinder C. und D. georgische Geburtsurkunden ausgestellt, in welchen A. und B. als rechtliche Eltern der Kinder aufgeführt waren. Zurück in der Schweiz wurde für die Kinder die Anerkennung der ausländischen Geburtsurkunden und die Eintragung der Kinder C. und D. mit den Eltern A. und B. in das schweizerische Zivilstandsregister beantragt. Das hierfür zuständige Gemeindeamt des Kantons Zürichs verweigerte jedoch die Anerkennung der georgischen Geburtsurkunden und sah stattdessen im zwischen A., B. und E. abgeschlossenen Leihmutterschaftsvertrag eine Vaterschaftsanerkennung des Ehemannes. Entsprechend verfügte es die Eintragung der Kinder mit dem Ehemann als rechtlichen Vater und der Leihmutter als rechtliche Mutter. Ausserdem sollten die Kinder mit dem Familiennamen der Leihmutter ins Register eingetragen werden. Dagegen erhoben alle Beteiligten – die Eltern, die Kinder, sowie auch die Leihmutter – Rekurs bei der zuständigen Instanz. Diese hiess den Rekurs gut und entschied, dass C. und D. mit ihren Eltern A. und B. und mit deren Familiennamen ins Register einzutragen seien. Nach einer hiergegen erfolgten und teilweise gutgeheissenen Beschwerde des Bundesamts für Justiz an das Verwaltungsgericht Zürich wandten sich die Eltern, die Kinder und die Leihmutter zur Beurteilung an das Bundesgericht und beantragten erneut, die Kinder C. und D....