I. Sachverhalt

Die Eheleute A und B haben im Oktober 2018 mit einem Reproduktionszentrum in Tiflis/Georgien ein Agreement on Medical Services to Surrogacy and Egg donation vereinbart. Im November 2018 schloss das Ehepaar in Georgien einen Leihmutterschaftsvertrag mit der nicht verheirateten D als Leihmutter und mit E als Eizellenspenderin. Im 2019 gebar D in Tiflis das Mädchen C. Genetischer Vater ist B. Das Amt für Zivile Registrierung, Tiflis, stellte im Juli 2019 die Geburtsurkunde aus. Darin wird C nebst Geburtsdatum und -ort (einzig) mit dem Familiennamen der Eheleute A und B, der Staatsangehörigkeit Georgien, A als Mutter und B als Vater aufgeführt. Die Eheleute meldeten die Geburt von C in der Schweiz an und beantragten den Eintrag ins Personenstandsregister. Das wurde im April 2020 vom zuständigen Departement abgewiesen. Dieses trug die Leihmutter D als Mutter ein und gab C deren Familiennamen. A, B und D wehren sich danach vor dem Obergericht des Kantons Aargau. Dieses hiess die Beschwerde teilweise gut und trug B als Vater ein. Das Kind erhielt den Familiennamen der Eheleute und die Schweizer Staatsbürgerschaft. Das Bundesamt für...