I. Sachverhalt

Die Parteien sind die verheirateten Eltern von vier Kinder. Im Juni 2020 reichte der Mann die Scheidung beim Bezirksgericht Zürich ein. Beide Parteien stellten ein Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses durch den anderen Ehegatten und ersuchten eventualiter um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Gesuche um Prozesskostenvorschuss bzw. unentgeltliche Rechtspflege wurden im März 2021 abgewiesen. Gleichzeitig verpflichtete das Gericht den Ehemann zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses für den Scheidungsprozess. Der Mann focht die Abweisung seiner Anträge und die Kostenvorschussverfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an und hielt daran fest, die Frau für das erstinstanzliche Scheidungsverfahren zur Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses von CHF 15'000 zu verpflichten und ihm eventualiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter ersuchte er für das Rechtsmittelverfahren um einen Prozesskostenvorschuss von CHF 5'000 und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht wies die Berufung (betreffend Prozesskostenvorschuss) und die Beschwerde (betreffend unentgeltliche...