I. Sachverhalt

Mutter und Vater sind die unverheirateten Eltern des 2016 geborenen Kindes. Sie trennten sich kurz nach dessen Geburt. Das Kind steht unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter. Im März 2018 beantragte der Vater bei der KESB Horgen Information und Auskunft über wichtige Entscheide. Weiter stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die KESB wies das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ab, gewährte dem Vater jedoch die unentgeltliche Rechtspflege für Gebühren und Kosten. Gegen diesen Beschluss erhob der Vater im August 2018 Beschwerde beim Bezirksrat Horgen. Dieser wies die Beschwerde im Oktober 2020 vollumfänglich ab, auferlegte dem Vater die Entscheidgebühr von CHF 1'000 (Disp.-Ziff. 2) und verpflichtete ihn, der Mutter eine Parteientschädigung von CHF 900 zzgl. MwSt. zu bezahlen (Disp.-Ziff. 3). Dagegen wandte sich der Vater an das Obergericht des Kantons Zürich. Neben der Anfechtung in der Sache beantragte er unter anderem, den vorinstanzlichen Entscheid betreffend Parteientschädigung (Disp.-Ziff. 3) aufzuheben und die Mutter zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von...