I. Sachverhalt

Mutter und Vater heirateten am 4. Januar 2009 in Rom. Sie haben den im Jahr 2013 geborenen Sohn. Die Mutter besitzt ein Haus in Rom und der Vater ein Haus in der Schweiz. Die Familie lebte vorwiegend in der Schweiz, teilweise aber auch in Rom, primär in den ersten Lebensjahren des Sohnes. In den letzten zwei Jahren vor der Trennung "pendelte" die Mutter zufolge ihrer Anstellung in Rom zwischen den beiden Orten. Gemeldet war sie jedoch seit dem Jahr 2011 in der Schweiz und sie verfügt in der Schweiz über die Niederlassungsbewilligung C. 

Am 4. Dezember 2018 stellte die Mutter beim Bezirksgericht March ein Eheschutzgesuch, mit welchem sie im Wesentlichen die Zuteilung der ehelichen Wohnung in der Schweiz, die Obhut für den Sohn sowie Unterhaltsbeiträge beantragte. Im September 2019 ist die Mutter ist mit dem Kind nach Mailand ausgewandert. Mit Eheschutzentscheid vom 28. Januar 2020 regelte das Bezirksgericht das Getrenntleben. Es stellte den Sohn unter die Obhut der Mutter mit der Begründung, diese sei seit jeher die engere Bezugsperson und legte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters fest (jedes zweite Wochenende von...